關于大學高數論文范文免費

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　　高數是大學數學專業(yè)的重要組成部分，并且在重要的考試中所占的比重也是非常大。下面是學習啦小編為大家整理的關于大學高數論文，供大家參考。

　　大學高數論文范文篇一

　　多元函數微分學是高等數學中的一個重點，它涉及的內容是微積分學內容在多元函數中的體現，其中有關多元函數的連續(xù)性，偏導存在及可微性之間的關系是學生在學習中容易發(fā)生概念模糊和難以把握的一個重要知識點。

　　當前，多元函數的連續(xù)性，偏導存在及可微性之間的關系研究方面已經取得了一定的成果，但是，在一些學術性論文中只是對二元函數的連續(xù)性、偏導存在及可微性的個別關系做了具體的說明，因此，想要達到對這方面知識能做到全面的掌握對學生來說仍是一大難題。 本文通過具體實例對多元微分學中的幾個重要概念間進行分析討論，主要研究二元函數的連續(xù)性，偏導存在性，可微性等概念及它們之間因果關系. 然后推廣到多元函數，由此來總結有關多元函數的連續(xù)性、偏導存在及可微性之間的關系，并對二元函數具體的實例詳細加以證明，建立它們之間的關系圖，這樣對有效理解和掌握多遠函數微分學知識將起到重要作用。

　　一、函數連續(xù)

　　一個一元函數若在某點存在左導數和右導數，則這個一元函數必在這點連續(xù).但對于二

　　p(x,y)f(x,y)元函數f(x,y)來說，即使它在某點000既存在關于x的偏導數x00，又存在

　　關于y的偏導數

　　域fy(x0,y0)，f(x,y)也未必在p0(x0,y0)連續(xù)。甚至，在p0(x0,y0)的某鄰U(p0)存在偏導數fx(x,y)(或fy(x,y))f(x,y)(或fy(x,y))在點，而且x

　　p0(x0,y0)連續(xù)，也不能保證f(x,y)在p0(x0,y0)連續(xù).如函數

　　21y0sinx,y

　　0,y0f(x,y)

　　關于具體驗算步驟不難得出。過，我們卻有如下的定理。

　　定理1 [1]設函數f(x,y)在點p0(x0,y0)的某鄰域U(p0)內有定義，若f(x0,y)作為y的一元函數在點y=y0連續(xù)，fx(x,y)在U(p0)內有界，則f(x,y)在點p0(x0,y0)連續(xù)。

　　p(x,y)U(p0)有定義，fy(x,y)在U(p0)定理2 [4]設函數f(x,y)在點000的某鄰域內有界，

　　f(x,y0)作為x的一元函數在點xx0連續(xù)，則f(x,y)在點p0(x0,y0)連續(xù)。

　　定理1和定理2可推廣到更多元的情形中去。

　　000

　　f(x,x,,x)p(x,x,,x12n在點012n)的某鄰域U(p0)內有定義， 定理 3[5] 設函數

　　fxi(x1,x2,xn)

　　U(p0)有界(i1,2,n),f(x1,xi1,xi,xi1,xn)作為

　　在

　　00

　　x1,xi1,xi1,xn的n-1元函數在點(x1,xi01,xi01,xn)連續(xù)，則 f(x1,x2,,xn)在 000

　　p(x,x,,xn)連續(xù)。 點012

　　二、多元函數的偏導數

　　我們知道高等數學及數學分析教材中有：偏導數

　　//

　　fxy

　　////fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)

　　此式成立的條件為：

　　和

　　//

　　fyx

　　在

　　(x0,y0)都連續(xù)。

　　下面給出一個更若條件下二元混合偏導數求導次序無關的條件。

　　//////

　　fffp(x,y)ff(x,y)yyxyx

　　定理4 [6]若函數在000的某鄰域內偏導數x，及存在，且//////

　　fxyfxy(x0,y0)fyx(x0,y0)pp00在對y連續(xù)，則偏導數在存在，且

　　三、多元函數的可微性

　　考察函數的可微性時，如果知道偏導數連續(xù)，則函數一定可微.但是偏導數連續(xù)性條件常常不滿足，或不易判斷。知函數在點

　　p0可微的必要條件是各個偏導數在p0處存在.如果

　　p函數zf(x,y)在0處的全增量可表示為：

　　z=A

　　則常數A與B一定為A=

　　x+B

　　y+()

　　fx(p0) B=fy(P0) 且函數在P0處可微。[7]

　　lim

　　Z

　　0p定理5[2] 設n元函數zf(p)在0的某個鄰域內有定義，且極限存在，記

　　為

　　p(1) 若0，則函數zf(p)在0處不可微;

　　dzp

　　0p0

　　(2) 若=0，則函數在0處可微且，其中。

　　我們以二元函數為例證明。

　　定理6[3] 若n+1元函數可微(即把

　　f(x1,xn,y)關于y的偏導數對n+1個變量連續(xù)，x,xn

　　關于1

　　f(x1,xn,y)

　　可微。

　　f(x1,xn,y)

　　中的y看成常數后可微)，則n+1元函數

　　推論 若n(n≥2)元函數

　　f(x1,xn,)的偏導數存在，且至多有一個偏導不連續(xù)，則

　　f(x1,xn,)可微。

　　1、

　　若函數在點P可微該函數在點P連續(xù);若函數在點P可微該函數在P點處存在偏導數;若函數在點P可微該函數在點P處的一切方向導數都存在。

　　2、 3、

　　若函數在P點處連續(xù)函數在點P處存在偏導數。

　　若函數在P點處偏導數存在該函數在點P處的一切方向導數存在(僅有

　　/

　　fx這種關系：函數在點P處偏導數存在該函數在P處沿X軸方向的導數存

　　在)，函數在P處的一切方向導數存在該函數在P處偏導存在。

　　4、 5、

　　函數在P處的一切方向導數都存在該函數在P處連續(xù)。 函數在P處的一切方向導數都存在該函數在點P處可微。[11]

　　多元函數在點P可微，那么函數在P點的偏導數必存在。即偏導數存在時可微的必要但不充分條件。而多元函數偏導數在點P連續(xù)是函數在該點可微分的充分條件，但不是必要條件。但是，多元函數在一點連續(xù)在該點其偏導數不一定存在，也不一定可微;多元函數在一點偏導數存在而在該點不一定連續(xù);多元函數在一點可微在該點也不一定連續(xù)。[12] 若n+1元函數

　　f(x1,xn,y)

　　關于y的偏導數對n+1個變量連續(xù)，關于

　　x1,xi1,xi1,xn可微(即把f(x1,xn,y)中的y看成常數后可微)，則n+1元函數

　　f(x1,xn,y)

　　可微。[13]

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