什么是統計量_完全性分析
什么是統計量_完全性分析
統計量是統計理論中用來對數據進行分析、檢驗的變量。那么你對統計量了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關于什么是統計量的內容，希望大家喜歡!
統計量的簡介
樣本的已知函數;其作用是把樣本中有關總體的信息匯集起來;是數理統計學中一個重要的基本概念。統計量依賴且只依賴于樣本x1,x2,…xn;它不含總體分布的任何未知參數。從樣本推斷總體(見統計推斷)通常是通過統計量進行的。例如x1,x2，…，xn是從正態(tài)總體N(μ,1)(見正態(tài)分布)中抽出的簡單隨機樣本，其中均值(見數學期望)μ是未知的，為了對μ作出推斷，計算樣本均值?？梢宰C明，在一定意義下，塣包含樣本中有關μ的全部信息，因而能對μ作出良好的推斷。這里只依賴于樣本x1,x2，…，xn，是一個統計量。
統計量的類型
樣本矩
設x1,x2，…，xn是一個大小為n的樣本，對自然數k，分別稱 為k階樣本原點矩和k階樣本中心矩，統稱為樣本矩。許多最常用的統計量，都可由樣本矩構造。例如，樣本均值(即α1)和樣本方差 是常用的兩個統計量，前者反映總體中心位置的信息，后者反映總體分散情況。還有其他常用的統計量，如樣本標準差，樣本變異系數S/塣，樣本偏度，樣本峰度等都是樣本矩的函數。若(x1,Y1)，(x2,Y2)，…，(xn,Yn)是從二維總體(x，Y)抽出的簡單樣本，則樣本協方差·及樣本相關系數 也是常用的統計量，r可用于推斷x和Y的相關性。
次序統計量
把樣本X1,x2，…，xn由小到大排列，得到，稱之為樣本x1,x2，…,xn的次序統計量。其中最小次序統計量x⑴最大次序統計量x(n)稱為極值，在那些如年枯水量、年最大地震級數、材料的斷裂強度等的統計問題中很有用。還有一些由次序統計量派生出來的有用的統計量，如：樣本中位數 是總體分布中心位置的一種度量，若樣本大小n為奇數，，若n為偶數，，它容易計算且有良好的穩(wěn)健性。樣本p分位數Zp(0<p<1)及極差x(n)-x⑴也是重要的統計量。其中Zp當時即為中位數，而當時，表示不超過1+np的最大整數)。樣本分位數的一個重要應用是構造連續(xù)總體分布的非參數性容忍區(qū)間(見區(qū)間估計)。
U統計量
這是W.霍夫丁于1948年引進的，它在非參數統計中有廣泛的應用。其定義是：設x1,x2，…，xn，為簡單樣本，m為不超過n的自然數，為m元對稱函數，則稱 為樣本x1,x2，…，xn的以為核的U統計量。樣本均值和樣本方差都是它的特例。從霍夫丁開始，這種統計量的大樣本性質得到了深入的研究，主要應用于構造非參數性的量的一致最小方差無偏估計(見點估計)，并在這種估計的基礎上檢驗非參數性總體中的有關假設。
秩統計量
把樣本X1，X2，…，Xn 按大小排列為，若 則稱Ri為xi的秩，全部n個秩R1，R2，…，Rn構成秩統計量，它的取值總是1,2，…，n的某個排列。秩統計量是非參數統計的一個主要工具。
還有一些統計量是因其與一定的統計方法的聯系而引進的。如假設檢驗中的似然比原則所導致的似然比統計量，K.皮爾森的擬合優(yōu)度(見假設檢驗)準則所導致的Ⅹ統計量，線性統計模型中的最小二乘法所導致的一系列線性與二次型統計量，等等。
統計量的完全性
統計量是由樣本加工而成的，在用統計量代替樣本作統計推斷時，樣本中所含的信息可能有所損失，如果在將樣本加工為統計量時，信息毫無損失，則稱此統計量為充分統計量。例如，從一大批產品中依次抽出n個，若第i次抽出的是合格品，則xi=0，否則xi=1(i=1,2，…，n)?？傮w分布取決于整批產品的廢品率p，可以證明：統計量，即樣本中的廢品個數，包含了(x1，x2，…，xn)中有關p的全部信息，是一個充分統計量。若取m<n，令Tm(x1，，則Tm仍是一個統計量，不過不是充分的。
充分性是數理統計的一個重要基本概念，它是R.A.費希爾在1925年引進的，費希爾提出，并由J.奈曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴格證明了一個判定統計量充分性的方法，叫因子分解定理。這個定理適用面廣且應用方便，利用它可以驗證很多常見統計量的充分性。例如，若正態(tài)總體有已知方差，則樣本均值塣是充分統計量。若正態(tài)總體的均值、方差都未知，則樣本均值和樣本方差S合起來構成充分統計量(塣，S)。一個統計量是否充分，與總體分布有密切關系。
將樣本加工成統計量要求越簡單越好。簡單的程度的大小，主要用統計量的維數來衡量。簡單地講，若統計量T2是由統計量T1加工而來(即T2是T1的函數)，則T2比T1簡單。在此意義上，最簡單的充分統計量叫極小充分統計量。這是E.L.萊曼和H.謝菲于1950年提出的。前例中的充分統計量都有極小性。在任何情況下，樣本x1,x2，…，xn本身就是一個充分統計量，但一般不是極小的。
關于統計量的另一個重要的基本概念是完全性。設T為一統計量，θ為總體分布參數，若對θ的任意函數g(θ)，基于T的無偏估計至多只有一個(以概率1相等的兩個估計量視為相同)，則稱T為完全的。
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